Пусть п > 2024 — натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до п. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных n < 8000, для которых это число будет равно О?

Для того чтобы на доске осталось число 0, необходимо, чтобы все числа на доске были попарно равны между собой. Так как на доске изначально были числа от 2024 до п, то количество чисел на доске должно быть кратно (п - 2024).

Таким образом, нам нужно найти количество натуральных чисел n < 8000, для которых (n - 2024) делится на n. Рассмотрим делители числа n - 2024:

n - 2024 = k * n, где k - натуральное число 2024 = (k + 1) * n 2024 = 2^3 * 11 * 23 = 1 * 2024, 2 * 1012, 4 * 506, 8 * 253, 11 * 184, 23 * 88, 46 * 44

Таким образом, числа n могут быть равны 2025, 2026, 2028, 2032, 2035, 2047, 2070. Итого, существует 7 натуральных чисел n < 8000, для которых на доске останется число 0.