Пусть п > 2024 натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до N. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных N< 10000, для которых это число будет равно 0?

Для того чтобы на доске осталось только одно число и это число было равно 0, необходимо, чтобы сумма всех чисел на доске была четной, так как каждая операция уменьшает сумму на четное число.

Сумма всех чисел от 2024 до N равна (2024 + N)(N - 2024 + 1) / 2. Это число должно быть четным. Рассмотрим два случая:

1. N - 2024 + 1 четное: тогда (2024 + N) должно быть нечетным, то есть N должно быть четным. Пусть N = 2k, тогда сумма равна (2024 + 2k)(k + 1), которая должна быть четной. Это возможно только если k четное. Таким образом, для этого случая существует k/2 натуральных чисел N.

2. N - 2024 + 1 нечетное: тогда (2024 + N) должно быть четным, то есть N должно быть нечетным. Пусть N = 2k + 1, тогда сумма равна (2024 + 2k + 1)(k + 1), которая должна быть четной. Это возможно только если k нечетное. Таким образом, для этого случая существует (k+1)/2 натуральных чисел N.

Итак, общее количество натуральных N < 10000, для которых на доске останется число 0, равно k/2 + (k+1)/2 = k, где k пробегает все нечетные числа от 1 до 4999. Таким образом, ответ равен (1 + 3 + ... + 4999) = 2500^2 = 6250000.