Пусть AL биссектриса угла ВAC треугольника АВС, а w окружность, описаиная около этого треугольника. Касательная к о, проходящая через точку А, пересекает прямую ВС в точке Р. Докажите, что PA = PL.

Из условия задачи следует, что AL - биссектриса угла BAC, а значит, угол BAL равен углу CAL. Также, угол BAC равен углу BPC (угол, опирающийся на дугу BC окружности w).

Таким образом, угол BAL равен углу BPC, а значит, треугольники BAL и BPC подобны по углу-углу (по двум углам).

Отсюда следует, что отношение сторон треугольников BAL и BPC равно отношению сторон AL и PC, то есть AL/PC = BL/BP.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то BL = AC/2. Также, так как угол BAC равен углу BPC, то угол BPC также равен 90 градусов, а значит, треугольник BPC также прямоугольный.

Из этого следует, что PL = PC, так как PL - гипотенуза треугольника BPC.

Таким образом, AL/PC = BL/BP => AL/PL = BL/BP => AL = BL * PL / BP = AC/2 * PL / BP = AC * PL / 2 * BP = PL.

Следовательно, PA = PL.