Простое число p таково, что числа 15p−15 и 16p−15 являются точными квадратами.

Давайте обозначим 15p-15 как x^2 и 16p-15 как y^2.

Тогда у нас есть система уравнений: 15p-15 = x^2 16p-15 = y^2

Выразим p из первого уравнения: p = (x^2 + 15) / 15

Подставим это выражение во второе уравнение: 16((x^2 + 15) / 15) - 15 = y^2 16x^2/15 + 16 - 15 = y^2 (16x^2 + 225) / 15 = y^2

Так как y^2 - целое число, то (16x^2 + 225) должно быть кратно 15. Это возможно только если 16x^2 + 225 делится на 15 без остатка.

Рассмотрим остатки при делении на 15: 16x^2 + 225 = 0 (mod 15) x^2 + 15 = 0 (mod 15) x^2 = 0 (mod 15)

Это означает, что x кратно 15. Пусть x = 15k, где k - целое число.

Тогда подставим x = 15k обратно в первое уравнение: 15p - 15 = (15k)^2 15p - 15 = 225k^2 p = 15k^2 + 1

Таким образом, простое число p равно 15k^2 + 1, где k - целое число.