Про квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом 1 с двумя различными корнями и ненулевыми коэффициентами известно, что сумма всех его коэффициентов (включая старший) равна сумме его корней, произведение всех коэффициентов равно произведению корней. Найдите сумму квадратов корней этого многочлена

Пусть у нас есть квадратный трёхчлен с двумя корнями $x_1$ и $x_2$. Тогда его общий вид можно записать как $f(x) = (x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.

Из условия задачи мы знаем, что сумма всех коэффициентов этого многочлена равна сумме его корней, то есть $1 + (-x_1 - x_2) + x_1x_2 = x_1 + x_2$. Отсюда получаем, что $x_1x_2 = 1$.

Также из условия мы знаем, что произведение всех коэффициентов равно произведению корней, то есть $1 \cdot (-x_1 - x_2) \cdot 1 = x_1x_2$. Отсюда получаем, что $-x_1 - x_2 = -1$.

Теперь найдем сумму квадратов корней многочлена: $x_1^2 + x_2^2$. Мы знаем, что $x_1 + x_2 = -1$, а также $x_1x_2 = 1$. Тогда $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2$, откуда $x_1^2 + x_2^2 = (-1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Итак, сумма квадратов корней этого многочлена равна -1.