При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть то тест подтверждает его в 93% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 87% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 15% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности:

P(заболевание|положительный тест) = P(положительный тест|заболевание) * P(заболевание) / P(положительный тест)

P(положительный тест|заболевание) = 0.93 (тест подтверждает заболевание в 93% случаев) P(заболевание) = неизвестно P(положительный тест) = 0.15 (тест оказывается положительным у 15% пациентов)

Теперь найдем P(заболевание) с помощью формулы полной вероятности:

P(заболевание) = P(заболевание|положительный тест) * P(положительный тест) + P(заболевание|отрицательный тест) * P(отрицательный тест)

P(заболевание|отрицательный тест) = 1 - P(положительный тест|заболевание) = 1 - 0.93 = 0.07 P(отрицательный тест) = 1 - P(положительный тест) = 1 - 0.15 = 0.85

Теперь можем найти P(заболевание):

P(заболевание) = P(заболевание|положительный тест) * P(положительный тест) + P(заболевание|отрицательный тест) * P(отрицательный тест) = 0.93 * 0.15 + 0.07 * 0.85 = 0.1395 + 0.0595 = 0.199

Теперь можем найти P(заболевание|положительный тест):

P(заболевание|положительный тест) = P(положительный тест|заболевание) * P(заболевание) / P(положительный тест) = 0.93 * 0.199 / 0.15 = 0.1857

Итак, вероятность того, что пациент действительно имеет заболевание при положительном тесте, составляет приблизительно 18.57%.