Построить и исследовать группу точек эллиптической кривой 𝐸4,6(𝐹13).

Эллиптическая кривая задается уравнением в общем виде: y^2 = x^3 + ax + b, где a и b - коэффициенты кривой. Для кривой E4,6(F13) коэффициенты a = 4 и b = 6, а F13 - поле Галуа из 13 элементов.

Теперь построим группу точек на данной кривой. Для этого мы можем использовать алгоритм двойного и тройного деления точек на кривой. Начнем с точки P = (1, 3), которая лежит на кривой E4,6(F13).

1. Находим касательную к кривой в точке P:

• Вычисляем производную функции y^2 - x^3 - 4x - 6 по x: 2y*y' = 3x^2 + 4
• Подставляем координаты точки P: 23y' = 3*1^2 + 4 => 6y' = 7
• Находим уравнение касательной: y = 3x + 7

2. Находим пересечение касательной с кривой:

• Подставляем уравнение касательной в уравнение кривой: (3x + 7)^2 = x^3 + 4x + 6
• Решаем полученное уравнение для x: x = 5

3. Находим y-координату точки пересечения:

• Подставляем найденное x в уравнение касательной: y = 3*5 + 7 = 22

Таким образом, мы нашли новую точку Q = (5, 22) на кривой E4,6(F13). Теперь мы можем продолжить процесс деления точек и построить группу точек на данной кривой.