Отрезки BM и CN - высоты треугольника ABC. Докажите, что точки B, N, M и C лежат на одной окружности. Где расположен её центр? Сделайте к задаче два чертежа: один для случая остроугольного треугольника, а второй - для тупоугольного с тупым углом при вершине A.

Для доказательства того, что точки B, N, M и C лежат на одной окружности, рассмотрим треугольник ABC. Поскольку BM и CN - высоты треугольника, то углы MBN и NCМ прямые.

Таким образом, угол BNC равен углу BMC, так как они дополняются до 180 градусов. Значит, угол BNC также равен углу BAC, так как треугольники ABC и MBC подобны (по признаку угловой схожести). Следовательно, точки B, N, M и C лежат на одной окружности, у которой центр - середина гипотенузы BC.

Чертеж для остроугольного треугольника:

     C
     |\
     | \
  M  |  \  N
     |   \
     |    \
     |     \
     B------A

Чертеж для тупоугольного треугольника:

     C
     |\
     | \
  M  |  \  N
     |   \
     |    \
     |     \
     B------A