Отрезки $$BM$$ и $$CN$$ - высоты треугольника $$ABC$$. Докажите, что точки $$B$$, $$N$$, $$M$$ и $$C$$ лежат на одной окружности. Где расположен её центр? Сделайте к задаче два чертежа: один для случая остроугольного треугольника, а второй - для тупоугольного с тупым углом при вершине $$A$$.

Для доказательства того, что точки $B$, $N$, $M$ и $C$ лежат на одной окружности, рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку отрезки $BM$ и $CN$ являются высотами, то углы $\angle MBN$ и $\angle NCM$ прямые. Таким образом, угол $\angle MBN$ равен углу $\angle MCN$ (так как они дополняют друг друга до 180 градусов). Но угол $\angle MCN$ равен углу $\angle ACB$, так как они опираются на одну и ту же дугу $CN$ окружности. Следовательно, угол $\angle MBN$ равен углу $\angle ACB$. Таким образом, точки $B$, $N$, $M$ и $C$ действительно лежат на одной окружности.

Центр данной окружности будет находиться на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка $BC$, так как этот перпендикуляр будет одновременно являться высотой треугольника $ABC$.

Чертеж для случая остроугольного треугольника: \begin{center} \begin{tikzpicture} \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=above:$B$] (B) at (2,3); \coordinate[label=right:$C$] (C) at (4,0); \coordinate[label=above:$M$] (M) at (2,0); \coordinate[label=right:$N$] (N) at (2,1.5);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (B) -- (M);
\draw (C) -- (N);

\draw (B) circle [radius=1.5];

\fill (B) circle (2pt);
\fill (C) circle (2pt);
\fill (M) circle (2pt);
\fill (N) circle (2pt);
\end{tikzpicture}

\end{center}

Чертеж для случая тупоугольного треугольника: \begin{center} \begin{tikzpicture} \coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0); \coordinate[label=above:$B$] (B) at (2,3); \coordinate[label=right:$C$] (C) at (4,0); \coordinate[label=above:$M$] (M) at (2,0); \coordinate[label=right:$N$] (N) at (2,-1.5);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (B) -- (M);
\draw (C) -- (N);

\draw (B) circle [radius=1.5];

\fill (B) circle (2pt);
\fill (C) circle (2pt);
\fill (M) circle (2pt);
\fill (N) circle (2pt);
\end{tikzpicture}

\end{center}