Остроугольный треугольник ABC, высоты которого пересекаются в точке H, вписан в окружность с центром O. Пусть P - точка на окружности, диаметрально противоположная точке A. а) Докажите, что PBA= PCA=90 б) Докажите, что четырёхугольник PBHC - параллелограмм. в) Докажите, что расстояние от точки O до стороны BC вдвое меньше, чем AH.

а) Так как треугольник ABC остроугольный, то угол BAC = 90 градусов. Также известно, что угол вписанный в полукруг равен 90 градусов. Следовательно, угол PBA = 90 градусов. Аналогично, угол PCA = 90 градусов.

б) Так как углы PBA и PCA равны 90 градусов, то треугольники PBA и PCA прямоугольные. Значит, BP и CP являются высотами этих треугольников, а значит, перпендикулярны соответственно AC и AB. Таким образом, BP || AC и CP || AB. Но так как AC || BH (по свойству высот), то получаем, что BP || BH. Аналогично, CP || CH. Таким образом, четырёхугольник PBHC - параллелограмм.

в) Поскольку четырёхугольник PBHC - параллелограмм, то его диагонали пересекаются в их серединах. Так как O - центр окружности, то OH - радиус окружности, а значит, OH равно половине диаметра окружности. Также, так как четырёхугольник PBHC - параллелограмм, то OH равно половине диагонали BC. Но так как AH - высота треугольника ABC, то AH равно диаметру окружности. Следовательно, расстояние от точки O до стороны BC вдвое меньше, чем AH.