Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, один катет которого равен 12 см, а гипотенуза 20 см. Все двугранные углы при основании равны 60°. Вычислите высоту боковой грани пирамиды.

Для начала найдем второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$ $12^2 + b^2 = 20^2$ $144 + b^2 = 400$ $b^2 = 400 - 144 = 256$ $b = \sqrt{256} = 16$

Теперь найдем площадь боковой грани пирамиды, которая равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани: $S = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot h$

Периметр основания: $P_{\text{осн}} = 12 + 20 + 16 = 48$

Теперь найдем высоту боковой грани: $h = a \cdot \sin{\alpha} = 12 \cdot \sin{60^\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

Подставляем все в формулу для площади боковой грани: $S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 6\sqrt{3} = 144\sqrt{3}$

Таким образом, высота боковой грани пирамиды равна 144√3 см.