Основанием пирамиды TABCD является равнобедренная трапеция ABCD, боковая сторона которой равна 3√3. Отношение площадей частей трапеции ABCD, на которые ее делит средняя линия, равно 5 : 7. Все боковые грани пирамиды TABCD наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем пирамиды TAKN, где точки K и N – середины ребер TB и TC соответственно, AD – большее основание трапеции ABCD.

Пусть высота пирамиды TABCD равна h. Так как боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30°, то высота боковой грани равна h*sin(30°) = h/2.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ее высота равна h, а боковая сторона равна 3√3. Пусть средняя линия трапеции равна l, тогда площадь верхней части трапеции равна (5/12)lh, а нижней части – (7/12)lh.

Так как верхняя часть трапеции ABCD является основанием пирамиды TAKN, то площадь основания пирамиды равна (5/12)l*h. Также из подобия пирамиды TABCD и TAKN следует, что высота пирамиды TAKN равна h/2.

Таким образом, объем пирамиды TAKN равен V = (1/3)Sh/2 = (1/3)(5/12)lhh/2 = (5/72)lh^2.

Осталось найти длину средней линии трапеции ABCD. Пусть основание трапеции AB равно a, тогда l = (a + 3√3)/2. Также из подобия пирамиды TABCD и TAKN следует, что a/3√3 = l/h, откуда a = 3√3*l/h.

Подставляя это значение a в формулу для объема пирамиды TAKN, получаем V = (5/72)lh^2 = (5/72)l(lh/3√3)^2 = (5/72)l^3h/(273) = l^3h/432.

Таким образом, объем пирамиды TAKN равен l^3*h/432.