Окружность, построенная на катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, делит гипотенузу AB в точке K. Найдите острые углы треугольника ABC, если точка K делит гипотенузу AB в отношении 1:3.

Пусть углы треугольника ABC обозначены как A, B и C, а точка K делит гипотенузу AB на отрезки AK и KB, причем AK = x, KB = 3x.

Так как окружность, построенная на катете BC как на диаметре, проходит через точку K, то треугольник BKC является прямоугольным. Тогда, применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем:

BC^2 = BK^2 + KC^2 BC^2 = (3x)^2 + x^2 BC^2 = 9x^2 + x^2 BC^2 = 10x^2 BC = x√10

Так как BC - это гипотенуза треугольника ABC, то AC = x√10. Теперь мы можем выразить катеты треугольника ABC через x:

AB = AK + KB = x + 3x = 4x

Так как углы треугольника ABC обозначены как A, B и C, то у нас есть следующие соотношения между сторонами и углами треугольника:

sin(A) = BC/AB = x√10 / 4x = √10 / 4 cos(A) = AC/AB = x√10 / 4x = √10 / 4 tan(A) = sin(A) / cos(A) = (√10 / 4) / (√10 / 4) = 1

Отсюда следует, что угол A равен 45 градусам. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, углы B и C равны 45 градусов.

Итак, острые углы треугольника ABC равны 45 градусов.