Окружность, построенная на катете `BC` прямоугольного треугольника `ABC` как на диаметре, делит гипотенузу `AB` в точке `K`. Найдите острые углы треугольника `ABC`, если точка `K` делит гипотенузу `AB` в отношении `1:3`.

Обозначим длины катетов как AC = a, BC = b, длину гипотенузы как AB = c. Так как точка K делит гипотенузу в отношении 1:3, то AK = c/4 и KB = 3c/4.

Так как окружность, построенная на катете BC как на диаметре, делит гипотенузу AB пополам, то AK = KB. Значит, c/4 = 3c/4, откуда c = 4.

Теперь можем найти длины катетов: a^2 + b^2 = c^2 a^2 + b^2 = 16

Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол C прямой. Поэтому острые углы треугольника ABC равны A и B.

Теперь найдем синусы углов A и B: sin(A) = a/c = a/4 sin(B) = b/c = b/4

Так как a^2 + b^2 = 16, то a/4 = sin(A) = sqrt(16 - b^2)/4 и b/4 = sin(B) = sqrt(16 - a^2)/4.

Возьмем квадраты обеих уравнений: a^2 = 16sin^2(A) b^2 = 16sin^2(B)

Подставим в a^2 + b^2 = 16: 16sin^2(A) + 16sin^2(B) = 16 sin^2(A) + sin^2(B) = 1

Таким образом, A и B являются острыми углами прямоугольного треугольника и удовлетворяют уравнению sin^2(A) + sin^2(B) = 1.