Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара w после отрыва от сферы, считая начальную скорость шара равной нулю.

При скатывании шара без скольжения сфера прокатывается по поверхности другой сферы без проскальзывания. При этом сохраняется механическая энергия системы.

Из закона сохранения энергии получаем:

mgh = \frac{1}{2}Iw^2 + \frac{1}{2}mv^2,

где m - масса шара, h - высота, на которой находится шар, I - момент инерции шара, w - угловая скорость шара, v - линейная скорость шара.

Момент инерции шара относительно его диаметра равен \frac{2}{5}mr^2.

Высота, на которой находится шар, равна 2R, где R - радиус сферы.

Таким образом, уравнение принимает вид:

mg(2R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}mr^2 \cdot w^2 + \frac{1}{2}mv^2.

Поскольку начальная скорость шара равна нулю, v = rw.

Подставляя это в уравнение, получаем:

2mgR = \frac{1}{5}mr^2w^2 + \frac{1}{2}mr^2w^2.

Упрощая, получаем:

2mgR = \frac{7}{10}mr^2w^2,

откуда

w = \sqrt{\frac{20gR}{7r}}.