Несколько детей пришли писать очный этап олимпиады. • Среди них есть две девочки, каждая из которых знакома ровно с четырьмя мальчиками. • Среди них есть три девочки, каждая из которых знакома ровно с тремя мальчиками. • Остальные девочки (если имеются) знакомы ровно с двумя мальчиками каждая. • Никакие два ребёнка одного пола не знакомы между собой. • Любой ребёнок может передать шпаргалку в руки любому своему знакомому. Оказалось, что любая девочка может отправить шпаргалку любому мальчику (даже незнакомому через других детей), но, стоит организаторам начать пристально следить хотя бы за одной парой знакомых детей, эта возможность нарушится (то есть найдутся такие мальчик и девочка, которые не смогут передать друг другу шпаргалку). Кого пришло на олимпиаду больше (мальчиков или девочек) и на сколько?(Л. С. Корешкова,

М. В. Карпов)

Пусть количество девочек на олимпиаде равно D, а количество мальчиков равно М.

Из условия задачи мы знаем, что каждая девочка знакома с 4 мальчиками, каждая из трех девочек знакома с 3 мальчиками, и остальные девочки (если они есть) знакомы с 2 мальчиками.

Таким образом, общее количество знакомств между девочками и мальчиками равно 4D + 33 + 2(D-3) = 4D + 9 + 2D - 6 = 6D + 3.

С другой стороны, общее количество знакомств между девочками и мальчиками не должно превышать D*(М-1), так как никакие два ребёнка одного пола не знакомы между собой.

Итак, у нас имеем неравенство 6D + 3 <= D*(М-1).

Так как количество детей на олимпиаде должно быть целым числом, рассмотрим различные варианты для D и М:

1. D = 3, М = 9. В этом случае имеем 63 + 3 = 21 <= 38, что верно.
2. D = 4, М = 8. В этом случае имеем 64 + 3 = 27 <= 47, что верно.
3. D = 5, М = 7. В этом случае имеем 65 + 3 = 33 <= 56, что верно.
4. D = 6, М = 6. В этом случае имеем 66 + 3 = 39 <= 65, что верно.

Таким образом, на олимпиаде пришло равное количество девочек и мальчиков (по 3 девочки и 9 мальчиков), то есть 12 детей.