Неопределённый интеграл. Основные понятия и определения

Неопределённый интеграл - это интеграл функции, который не имеет верхнего и нижнего пределов интегрирования. Он обозначается символом ∫f(x)dx и представляет собой семейство функций, отличающихся друг от друга на постоянную.

Основные понятия и определения:

1. Первообразная функции. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если её производная равна f(x), то есть F'(x) = f(x).

2. Неопределённый интеграл. Неопределённый интеграл функции f(x) обозначается как ∫f(x)dx и представляет собой множество всех её первообразных.

3. Свойства неопределённого интеграла:

• Линейность: ∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx, где a и b - константы.
• Замена переменной: ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du, где u = g(x).
• Интегрирование по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
• Интегрирование простейших функций: ∫dx = x + C, ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, где n ≠ -1.

4. Правило замены переменной. При интегрировании функции f(g(x))g'(x)dx, где u = g(x), необходимо заменить переменную и произвести интегрирование по новой переменной.

5. Правило интегрирования по частям. При интегрировании произведения двух функций u dv необходимо применить формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.

Неопределённый интеграл является важным инструментом в математике и физике для нахождения площадей под кривыми, объемов тел и других физических величин.