Найти все значения параметра а при которых уравнение 1 + cos 2x - sin 2x - a sin(x - π/4) имеет на отрезке [0; 2π] ровно три решения. В ответе запишите квадрат суммы всех найденных значений а.

Для того чтобы уравнение имело ровно три решения на отрезке [0; 2π], необходимо искать значения параметра а, при которых уравнение имеет два точных пересечения с осью абсцисс на этом отрезке.

Уравнение 1 + cos 2x - sin 2x - a sin(x - π/4) можно переписать в виде:

1 + cos 2x - sin 2x - a sin(x - π/4) = 0

1 + cos 2x - sin 2x - a(sin x cos(π/4) - cos x sin(π/4)) = 0

1 + cos 2x - sin 2x - a(sin x (1/√2) - cos x (1/√2)) = 0

1 + cos 2x - sin 2x - a(1/√2 sin x - 1/√2 cos x) = 0

1 + cos 2x - sin 2x - (a/√2) sin x + (a/√2) cos x = 0

(a/√2) cos x - sin 2x - (a/√2) sin x - cos 2x = 1

(a/√2) cos x - sin 2x - (a/√2) sin x - cos 2x = 1

(a/√2) cos x - sin 2x - (a/√2) sin x + sin^2 x - cos^2 x = 1

(a/√2) cos x - sin 2x - (a/√2) sin x + sin^2 x - (1 - sin^2 x) = 1

(a/√2) cos x - sin 2x - (a/√2) sin x + 2 sin^2 x - 1 = 1

(a/√2) cos x - sin 2x - (a/√2) sin x + 2 sin^2 x = 2

(a/√2) cos x - (a/√2) sin x = 2 + sin 2x - 2 sin^2 x

a(cos x - sin x) = 2 + sin 2x - 2 sin^2 x

a = (2 + sin 2x - 2 sin^2 x) / (cos x - sin x)

Теперь найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет два пересечения с осью абсцисс на отрезке [0; 2π]. Для этого найдем производную от a по x и приравняем ее к нулю:

(da/dx) = (2 cos 2x - 4 sin x cos x) / (cos x - sin x)^2 = 0

2 cos 2x - 4 sin x cos x = 0

cos 2x - 2 sin x cos x = 0

cos 2x - sin 2x = 0

cos(2x - π/2) = 0

2x - π/2 = π/2 + πn, где n - целое число

2x = π + πn

x = π/2 + πn/2

Таким образом, уравнение имеет два пересечения с осью абсцисс при x = π/2, 3π/2.

Подставим найденные значения x в уравнение для а:

a = (2 + sin 2(π/2) - 2 sin^2 (π/2)) / (cos (π/2) - sin (π/2)) = (2 + 1 - 2*1) / (0 - 1) = -1

a = (2 + sin 2(3π/2) - 2 sin^2 (3π/2)) / (cos (3π/2) - sin (3π/2)) = (2 - 1 - 2*0) / (0 - (-1)) = 1

Таким образом, найденные значения параметра а: a = -1 и a = 1.

Квадрат суммы всех найденных значений а:

(-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2

Ответ: 2.