Найдите наибольшее натуральное n такое, что разность четвёртых степеней двух нечётных натуральных чисел заведомо делится на n.

Наибольшее натуральное n будет равно 16.

Пусть у нас есть два нечетных натуральных числа a и b. Тогда разность их четвертых степеней будет равна: a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b).

Так как a и b нечетные, то a^2 и b^2 также будут нечетными. Значит, их сумма a^2 + b^2 будет четным числом, а их разность a^2 - b^2 будет также четным числом. Таким образом, произведение (a^2 + b^2)(a + b)(a - b) будет делиться на 222 = 8.

Также заметим, что среди трех чисел (a^2 + b^2), (a + b) и (a - b) обязательно найдется хотя бы одно число, которое делится на 3. Например, если a и b дают остаток 1 при делении на 3, то a + b будет делиться на 3. Если a и b дают остаток 2 при делении на 3, то a - b будет делиться на 3.

Таким образом, произведение (a^2 + b^2)(a + b)(a - b) будет делиться на 8 и на 3, то есть на 24. Следовательно, наибольшее натуральное n, на которое делится разность четвертых степеней двух нечетных натуральных чисел, равно 24.

Проверим, что для n = 16 также выполняется условие. Рассмотрим числа a = 3 и b = 1. Тогда a^4 - b^4 = 3^4 - 1^4 = 80, что делится на 16. Таким образом, наибольшее натуральное n, на которое делится разность четвертых степеней двух нечетных натуральных чисел, равно 16.