Найдите количество решений уравнения в зависимости от параметра a.$$\left|\left|x-1\right|-2\right|=x+a$$.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x-1\geq 0$, тогда уравнение примет вид $|x-1|-2=x+a$, что эквивалентно $x-3=x+a$, откуда $x=a+3$. Подставляя это значение обратно в уравнение, получаем $|a+2|=a+3$. Рассмотрим два подслучая:

   • Если $a+2\geq 0$, то $a+2=a+3$, что невозможно.

   • Если $a+2<0$, то $-(a+2)=a+3$, откуда $-a-2=a+3$, $a=-\frac{5}{2}$. Подставляя это значение обратно в уравнение, получаем $|-\frac{1}{2}|=-\frac{5}{2}+3$, что верно.

2. Пусть $x-1<0$, тогда уравнение примет вид $|1-x|-2=x+a$, что эквивалентно $-x-3=x+a$, откуда $x=-a-3$. Подставляя это значение обратно в уравнение, получаем $|1+a+3|-2=-a-3+a$, что равно $|a+4|-2=-3$. Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение имеет 1 решение при $a=-\frac{5}{2}$ и 0 решений при всех остальных значениях $a$.