На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки P, Q, R, S такие, что AP:PB=BQ:QC=CR:RD=DS:A.а) Докажите, что четырёхугольник PQRS - параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD. б) Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, CS и DP образуется параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.  Указание. Центром параллелограмма называют точку пересечения его диагоналей (что то же самое, середину любой из его диагоналей).

а) Поскольку AP:PB=BQ:QC=CR:RD=DS:A, то мы можем записать, что AP = A/(A+1) * AB, BQ = A/(A+1) * BC, CR = A/(A+1) * CD, DS = A/(A+1) * DA. Таким образом, мы видим, что PQRS - параллелограмм, так как противоположные стороны равны.

Чтобы доказать, что центр параллелограмма PQRS совпадает с центром параллелограмма ABCD, рассмотрим диагонали параллелограмма PQRS. Диагонали PQ и RS пересекаются в точке O1, которая является серединой отрезка PS. Диагонали PR и QS пересекаются в точке O2, которая является серединой отрезка QR. Таким образом, точка O1 совпадает с точкой O2, и они обе совпадают с центром параллелограмма ABCD.

б) Пусть прямые AQ, BR, CS и DP пересекаются в точке О. Так как AP:PB=BQ:QC=CR:RD=DS:A, то мы можем записать, что AO:OQ = BO:OR = CO:OS = DO:OP = A/(A+1). Это означает, что точка О является центром параллелограмма, образованного пересечением прямых AQ, BR, CS и DP, и этот центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.