На сторонах $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$DA$$ параллелограмма $$ABCD$$ взяты соответственно точки $$P$$, $$Q$$, $$R$$, $$S$$ такие, что $$AP:PB=BQ:QC=CR:RD=DS:SA$$.а) Докажите, что четырёхугольник $$PQRS$$ - параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма $$ABCD$$. б) Докажите, что при пересечении прямых $$AQ$$, $$BR$$, $$CS$$ и $$DP$$ образуется параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма $$ABCD$$.  Указание. Центром параллелограмма называют точку пересечения его диагоналей (что то же самое, середину любой из его диагоналей).

а) Поскольку $AP:PB=BQ:QC=CR:RD=DS:SA$, то $\frac{AP}{PB}=\frac{BQ}{QC}=\frac{CR}{RD}=\frac{DS}{SA}=k$. Значит, $AP=k\cdot PB$, $BQ=k\cdot QC$, $CR=k\cdot RD$, $DS=k\cdot SA$. Таким образом, $PQ=PB+BQ=(1+k)\cdot PB$, $RS=RD+DS=(1+k)\cdot RD$. Так как $PQ=RS$, то $PQRS$ - параллелограмм.

Для доказательства того, что центр четырёхугольника $PQRS$ совпадает с центром параллелограмма $ABCD$, рассмотрим диагонали параллелограммов $ABCD$ и $PQRS$. Пусть точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ обозначается как $O$, а точка пересечения диагоналей четырёхугольника $PQRS$ обозначается как $O'$.

Так как $O$ - центр параллелограмма $ABCD$, то $O$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам. То есть, $AO=OC$ и $BO=OD$. Также, так как $O'$ - центр четырёхугольника $PQRS$, то $O'$ делит диагонали $PR$ и $QS$ пополам. То есть, $O'P=O'R$ и $O'Q=O'S$.

Рассмотрим треугольники $AOP$ и $COQ$. Поскольку $AP=k\cdot PB$ и $BQ=k\cdot QC$, то $AO=k\cdot OC$ и $CO=k\cdot OA$. Таким образом, треугольники $AOP$ и $COQ$ подобны с коэффициентом $k$. Из подобия следует, что $OP=k\cdot OQ$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $DOR$ и $BOS$. Поскольку $CR=k\cdot RD$ и $DS=k\cdot SA$, то $DO=k\cdot OB$ и $BO=k\cdot OD$. Таким образом, треугольники $DOR$ и $BOS$ также подобны с коэффициентом $k$. Из подобия следует, что $OR=k\cdot OS$.

Таким образом, точка $O'$ совпадает с точкой $O$, которая является центром параллелограмма $ABCD$.

б) Пересечение прямых $AQ$ и $CS$ будет точкой $O'$, которая совпадает с центром четырёхугольника $PQRS$ (доказано в пункте а). Аналогично, пересечение прямых $BR$ и $DP$ также будет точкой $O'$. Таким образом, при пересечении прямых $AQ$, $BR$, $CS$ и $DP$ образуется параллелограмм, центр которого совпадает с центром параллелограмма $ABCD$.