На плоскости xOy прямые y=x+4 и y=−2 пересекаются в точке B, а прямая, проходящая через точку M(2;0), пересекает заданные прямые соответственно в точках A и C. При каком положительном значении ординаты точки A площадь треугольника ABC будет наименьшей?

Для начала найдем координаты точки B, пересечения прямых y=x+4 и y=-2. Подставим y=-2 в уравнение y=x+4 и найдем x: -2 = x + 4 x = -6

Таким образом, координаты точки B равны (-6, -2).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку M(2;0) и точку B(-6; -2). Используем формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки: y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Подставляем координаты точек M и B: y - 0 = ((-2 - 0) / (-6 - 2)) * (x - 2) y = -0.25x + 0.5

Теперь найдем координаты точки A, пересечения прямых y=-0.25x + 0.5 и y=x+4. Решим систему уравнений: -0.25x + 0.5 = x + 4 1.25x = -3.5 x = -2.8 y = -0.25*(-2.8) + 0.5 = 1.2

Таким образом, координаты точки A равны (-2.8, 1.2).

Теперь найдем координаты точки C, пересечения прямых y=-0.25x + 0.5 и y=-2: -0.25x + 0.5 = -2 x = 10 y = -0.25*10 + 0.5 = -2.5

Таким образом, координаты точки C равны (10, -2.5).

Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника по координатам вершин: S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| S = 0.5 * |-2.8(1.2 - (-2.5)) + 10(-2.5 - 1.2) + 2(-2.5 - 1.2)| S = 0.5 * |-2.83.7 - 103.7 - 2*3.7| S = 0.5 * |-10.36 - 37 - 7.4| S = 0.5 * 54.76 S = 27.38

Таким образом, площадь треугольника ABC будет наименьшей при ординате точки A, равной 1.2.