На плоскости x O y прямые y = x + 4 и y = − 2 пересекаются в точке B, а прямая, проходящая через точку M(2;0), пересекает заданные прямые соответственно в точках A и C. При каком положительном значении ординаты точки A площадь треугольника ABC будет наименьшей?

Для нахождения наименьшей площади треугольника ABC, нужно найти координаты точек A и C, а затем использовать формулу для площади треугольника по координатам вершин.

Так как прямые y=x+4 и y=-2 пересекаются в точке B, то их координаты можно найти, приравняв уравнения: x+4 = -2 x = -6 y = -6 + 4 = -2 Таким образом, координаты точки B равны (-6, -2).

Прямая, проходящая через точку M(2;0), имеет уравнение вида y=kx+b. Подставим координаты точки M и найдем b: 0 = 2k + b b = -2k Теперь подставим координаты точки B и найдем значение k: -2 = -6k + b -2 = -6k - 2k -2 = -8k k = 1/4 Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(2;0), имеет вид y=(1/4)x-1/2.

Теперь найдем координаты точек A и C. Подставим y=x+4 в уравнение прямой y=(1/4)x-1/2 и найдем координаты точки A: x+4 = (1/4)x - 1/2 3/4 x = -9/2 x = -6 y = -2 Таким образом, координаты точки A равны (-6, -2).

Аналогично, найдем координаты точки C: -2 = (1/4)x - 1/2 x = 2 y = 2 + 4 = 6 Таким образом, координаты точки C равны (2, 6).

Теперь можем найти площадь треугольника ABC по формуле: S = 1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)| S = 1/2 * |-6(6+2) + 2(-2-6) + 2(-2-6)| S = 1/2 * |-48 - 16 - 16| S = 1/2 * |-80| S = 40

Таким образом, при ординате точки A равной -2 площадь треугольника ABC будет наименьшей и равна 40.