На плоскости проведено 14 прямых. Известно, что если выбрать из этих прямых любые 4, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь между собой все проведённые прямые?

Пусть на плоскости проведено n прямых. Тогда количество точек пересечения всех прямых равно ${n \choose 2}$, так как каждая пара прямых пересекается в одной точке.

С другой стороны, известно, что если выбрать из n прямых любые 4, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. Это означает, что среди ${n \choose 4}$ четверок прямых найдутся хотя бы две параллельные.

Поэтому ${n \choose 2} \leq {n \choose 4}$, что приводит к неравенству $n(n-1) \leq \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$.

Решив это неравенство, получаем, что наибольшее количество точек пересечения, которое могут иметь между собой все проведенные прямые, равно 13.