На плоскости проведено 13 прямых. Известно, что если выбрать из этих прямых любые 4, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь между собой все проведённые прямые?

Предположим, что все 13 прямых пересекаются в одной точке. Тогда выберем из них любые 4 прямые. Поскольку среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные, это означает, что все 13 прямых не могут пересекаться в одной точке.

Теперь предположим, что все 13 прямых пересекаются в двух точках. Рассмотрим прямые, проходящие через одну из этих точек. Из 13 прямых выберем 4, проходящие через эту точку. Среди них найдутся хотя бы две параллельные. Это противоречие говорит о том, что все 13 прямых не могут пересекаться в двух точках.

Таким образом, наибольшее количество точек пересечения между собой всех проведённых прямых равно 1.