На плоскости проведено 10 прямых. Известно, что если выбрать из этих прямых любые 4, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь между собой все проведённые прямые?

Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом двойного подсчёта.

Пусть на плоскости проведено 10 прямых, и никакие 4 из них не являются параллельными. Тогда каждая из этих прямых пересекает каждую из оставшихся 9 прямых в одной точке. Таким образом, общее количество точек пересечения равно 10 * 9 = 90.

С другой стороны, если выбрать 4 прямые из 10, то среди них обязательно найдутся две параллельные. Значит, количество точек пересечения для каждой пары параллельных прямых равно 1. Таким образом, общее количество точек пересечения для всех проведённых прямых не превышает 10 * 1 = 10.

Получаем противоречие: с одной стороны, общее количество точек пересечения равно 90, а с другой стороны, оно не превышает 10. Значит, предположение о том, что никакие 4 прямые не являются параллельными, неверно.

Следовательно, среди проведённых 10 прямых обязательно найдутся хотя бы 4 параллельные прямые. При этом наибольшее количество точек пересечения между всеми прямыми будет равно 4, так как каждая пара параллельных прямых пересекается ровно в одной точке.