На доске написано число 21. Играют двое. За один ход разрешается уменьшить число на любой из его положительных делителей (в том числе на единицу или на само это число). Если при это получается нуль, игрок проиграл. Кто из игроков выиграет, если у него есть выигрышная стратегия? Первый, второй. При каких числах, написанных на доске, выиграет первый игрок? 3, 4, 5, 6. Сколько выигрышных позиций соответствует значениям от 1 до 21?

Если на доске написано число 21, то первый игрок выиграет. Он может уменьшить число до 20, оставив второму игроку число 19. Затем первый игрок будет каждый раз уменьшать число на 1, пока не дойдет до 15. После этого он может уменьшить число до 5, оставив второму игроку число 4. Затем первый игрок каждый раз будет уменьшать число на 1, пока не дойдет до 1, и второй игрок проиграет.

Таким образом, первый игрок выиграет при числах 3, 4, 5 и 6.

Выигрышные позиции соответствующие значениям от 1 до 21: 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Всего 12 выигрышных позиций.