на доске были написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа.. Коля вычел из каждого исходного числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму S1. Вася вычел из каждого исходного числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму S2. Наконец Андрей вычел из каждого исходного числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму S3. Сколько двоек было написано на доске?

Пусть x1, x2, ..., xn - исходные числа на доске. Тогда после вычитания 1, 2 и 3 из каждого числа получим следующие суммы:

S1 = |x1-1| + |x2-1| + ... + |xn-1| S2 = |x1-2| + |x2-2| + ... + |xn-2| S3 = |x1-3| + |x2-3| + ... + |xn-3|

Заметим, что для любого числа a верно, что |a-1| + |a-2| + |a-3| = 3a - 6. Поэтому:

S1 = 3(x1 + x2 + ... + xn) - 3n S2 = 3(x1 + x2 + ... + xn) - 6n S3 = 3(x1 + x2 + ... + xn) - 9n

Таким образом, S1, S2 и S3 отличаются друг от друга на 3n. Поскольку S1, S2 и S3 - неотрицательные числа, то S1 >= S2 >= S3. Следовательно, S1 = S3 + 3n, S2 = S3 + 6n.

Таким образом, S1 = 3(x1 + x2 + ... + xn) - 3n = S3 + 3n. Значит, S3 = 6n. Поскольку S3 - сумма модулей чисел, уменьшенных на 3, то каждое число на доске равно 3. Следовательно, на доске было написано 2 двойки.