Так как медиана BM делит сторону AC в отношении 1:2, то точка M делит сторону AC на отрезки длиной 2x и 4x. Таким образом, AM=2x, MC=4x. Так как точка K является точкой пересечения медианы BM и биссектрисы AP, то она делит медиану BM в отношении 2:1. Следовательно, BK=2x, KM=x. Теперь рассмотрим треугольник ABK. Поскольку BK=2x, AM=2x, то треугольник ABK является равнобедренным. Поэтому угол ABK равен углу BAK, то есть угол BAK равен углу ABC, так как треугольники ABK и ABC подобны. Теперь рассмотрим четырёхугольник KPMC. Так как KM=x, MC=4x, то площадь треугольника KMC равна 1/2x4x=2x^2. Так как треугольники KMC и ABC подобны, то площадь четырёхугольника KPMC равна 42x^2=8x^2. Итак, отношение площади четырёхугольника KPMC к площади треугольника ABK равно 8x^2/(1/22x*2x)=8x^2/2x^2=4.