Материальная точка массы т = 10 кг совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F = 1000x (H). В начальный момент точка имела скорость Vo = 10 м/с и координату хо = 1 м. Найти уравнение движения точ- ки, момент времени, когда скорость точки увеличится в 3 раза, а также путь, который она пройдет за это время.

Для нахождения уравнения движения точки воспользуемся вторым законом Ньютона:

F = ma,

где F - сила, действующая на точку, m - масса точки, a - ускорение точки.

Так как F = 1000x, то a = 1000x/m. Подставляем данное ускорение в уравнение движения:

m(d^2x/dt^2) = 1000x,

d^2x/dt^2 = 100x.

Это уравнение является уравнением гармонического осциллятора, его общее решение имеет вид:

x(t) = Acos(10t) + Bsin(10t),

где A и B - произвольные постоянные.

Подставляем начальные условия x(0) = x0 = 1 м и dx/dt(0) = v0 = 10 м/с:

1 = Acos(0) + Bsin(0), 10 = -10Asin(0) + 10Bcos(0).

Отсюда получаем A = 1 и B = 0. Таким образом, уравнение движения точки:

x(t) = cos(10t).

Для нахождения момента времени, когда скорость точки увеличится в 3 раза, найдем скорость точки v(t) = dx/dt:

v(t) = -10sin(10t).

Увеличение скорости в 3 раза означает, что v(t) = 3v0 = 30 м/с. Решая уравнение -10sin(10t) = 30, получаем t ≈ 0.523 с.

Для нахождения пути, который точка пройдет за это время, интегрируем скорость по времени:

S = ∫v(t)dt = ∫-10sin(10t)dt = 1/10cos(10t) + C.

Подставляем пределы интегрирования от 0 до 0.523:

S = 1/10cos(10*0.523) - 1/10cos(0) ≈ 0.15 м.

Итак, уравнение движения точки: x(t) = cos(10t), момент времени, когда скорость увеличится в 3 раза: t ≈ 0.523 с, путь, который точка пройдет за это время: ≈ 0.15 м.