Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник координаты вершин которого удовлетворяют уравнению |y-1|=-(|x+1|-2)³, а стороны параллельны осям координат.

Для начала перепишем уравнение в следующем виде:

|y-1| = (2-|x+1|)³

Так как стороны прямоугольника параллельны осям координат, то мы можем рассмотреть только одну четверть координатной плоскости, например, первую четверть.

Для первой четверти координатной плоскости уравнение принимает вид:

y-1 = (2-(x+1))³ y-1 = (1-x)³ y = (1-x)³ + 1

Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

1. Пересечение с осью OX (y=0): 0 = (1-x)³ + 1 (1-x)³ = -1 Это уравнение не имеет решений для действительных чисел, поэтому прямоугольник не пересекает ось OX.

2. Пересечение с осью OY (x=0): y = (1-0)³ + 1 y = 2

Таким образом, одна из вершин прямоугольника имеет координаты (0,2).

Теперь найдем вторую вершину прямоугольника. Для этого найдем точку экстремума функции y = (1-x)³ + 1. Для этого возьмем производную и приравняем ее к нулю:

y' = -3(1-x)² = 0 1-x = 0 x = 1

Подставим x=1 в уравнение y = (1-x)³ + 1:

y = (1-1)³ + 1 y = 1

Таким образом, вторая вершина прямоугольника имеет координаты (1,1).

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, то есть:

S = |1-0| * |2-1| = 1 * 1 = 1

Итак, наибольшая площадь прямоугольника, удовлетворяющего данному уравнению, равна 1.