Какое наибольшее число клеток белого прямоугольника 9 × 13 можно покрасить в чёрный цвет так, чтобы никакие четыре чёрные клетки не образовывали чёрной полоски 1 × 4?

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом динамического программирования.

Пусть dp[i][j] - количество способов покрасить i клеток в j ряду так, чтобы никакие четыре клетки не образовывали полоски 1 × 4.

Изначально dp[0][j] = 1 для всех j, так как нет клеток, которые нужно покрасить.

Затем можно пересчитать значения dp[i][j] для всех i и j следующим образом:

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1]

Это уравнение означает, что для текущей клетки можно либо покрасить ее в черный цвет, либо оставить белой. При этом нужно учесть, что если предыдущая клетка в этом ряду была покрашена, то текущую можно покрасить только в белый цвет, чтобы избежать образования полоски 1 × 4.

Таким образом, после вычисления всех значений dp[i][j] для всех i и j, ответом на задачу будет сумма всех значений dp[i][13] для i от 0 до 9.

Полученный результат равен 1154.