Известно, что кс..ичество способов вырезать по линиям сетки из клетчатого квадрата N × N квадрат 2 × 2 в 7 раз меньше, чем количество способов вырезать из этого же квадрата фигуру Р-пентамино (см. рисунок). Найдите сторону N такого квадрата. Фигуру можно поворачивать и переворачивать.

Для начала посчитаем количество способов вырезать квадраты 2x2 из клетчатого квадрата N x N. Количество таких квадратов будет равно (N-1)^2, так как мы можем выбрать любую клетку внутри квадрата N x N и построить на ней квадрат 2 x 2.

Теперь посчитаем количество способов вырезать фигуру Р-пентамино из клетчатого квадрата N x N. Для этого нам нужно построить фигуру П из 5 клеток. После этого мы можем поставить эту фигуру в любое место квадрата N x N, получая различные варианты. Таким образом, количество способов вырезать фигуру Р-пентамино равно N^2 * 5.

Условие задачи гласит, что количество способов вырезать квадраты 2x2 в 7 раз меньше, чем количество способов вырезать фигуру Р-пентамино. Поэтому у нас есть уравнение:

(N-1)^2 = N^2 * 5 / 7

(N^2 - 2N + 1) = 5N^2 / 7

7N^2 - 14N + 7 = 5N^2

2N^2 - 14N + 7 = 0

Решив это квадратное уравнение, получаем два корня: N ≈ 1.78 и N ≈ 1.22. Так как сторона квадрата должна быть целым числом, то подходит только N = 2.

Итак, сторона квадрата N равна 2.