Известно, что количество способов вырезать по линиям сетки из клетчатого квадрата N X N квадрат 2 × 2 в 7 раз меньше, чем количество способов вырезать из этого же квадрата фигуру Р -пентамино (см. рисунок). Найдите сторону N такого квадрата. Фигуру можно поворачивать и переворачивать.

Для начала посчитаем количество способов вырезать квадрат 2x2 из квадрата N x N. Количество способов вырезать квадрат 2x2 из квадрата N x N равно (N-1)^2, так как квадрат 2x2 может быть вырезан из любой клетки квадрата N x N, кроме клеток на границе.

Теперь посчитаем количество способов вырезать фигуру Р-пентамино из квадрата N x N. Фигуру Р-пентамино можно разместить в квадрате N x N различными способами. Поскольку фигура состоит из 5 клеток, то количество способов вырезать фигуру Р-пентамино из квадрата N x N равно N^2.

Условие задачи гласит, что количество способов вырезать квадрат 2x2 в 7 раз меньше, чем количество способов вырезать фигуру Р-пентамино. Итак, у нас есть уравнение: (N-1)^2 = N^2 / 7.

Решая это уравнение, получаем: (N^2 - 2N + 1) = N^2 / 7, 7N^2 - 14N + 7 = N^2, 6N^2 - 14N + 7 = 0.

Далее решаем это квадратное уравнение и находим два корня: N = 7/3 и N = 1.5. Так как сторона квадрата должна быть целым числом, то сторона N равна 3.

Итак, сторона квадрата N равна 3.