Известно, что количество способов вырезать по линиям сетки из клетчатого квадрата N × N полоску 1 × 3 в 3 раза меньше, чем количество способов вырезать из этого же квадрата фигуру Г-тетрамино (см. рисунок). Найдите сторону N такого квадрата. Фигуру можно поворачивать и переворачивать.

Для решения этой задачи сначала посчитаем количество способов вырезать полоску 1 × 3 из квадрата N × N. Поскольку полоску можно вырезать только горизонтально или вертикально, то количество способов будет равно 2N(N-2), так как полоску можно вырезать в любой строке кроме первой и последней.

Теперь посчитаем количество способов вырезать фигуру Г-тетрамино из квадрата N × N. Фигуру Г-тетрамино можно разместить в квадрате N × N следующими способами:

1. Вертикально в левом верхнем углу: 1 способ
2. Вертикально в правом верхнем углу: 1 способ
3. Горизонтально в верхнем левом углу: (N-1) способ
4. Горизонтально в верхнем правом углу: (N-1) способ

Итого количество способов вырезать фигуру Г-тетрамино из квадрата N × N равно 2 + 2(N-1) = 2N.

Таким образом, у нас имеется неравенство: 2N(N-2) < 2N Разделим обе части неравенства на 2N: N - 2 < 1 N < 3

Таким образом, сторона квадрата N должна быть меньше 3. Следовательно, возможные значения N равны 1 и 2.