Функция f(x) определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального n выполнено f(n+1)>f(n) и f(f(n))=3n.

Для начала определим значение функции для некоторых натуральных чисел:

f(1) = 3 f(2) = 6 f(3) = 9 f(4) = 12 ...

Так как функция принимает только натуральные значения и увеличивается при увеличении аргумента, то можно сделать вывод, что f(n) = 3n.

Докажем это по индукции:

База индукции: При n = 1, f(1) = 3*1 = 3, что верно.

Предположение индукции: Пусть для некоторого k верно, что f(k) = 3k.

Шаг индукции: Докажем, что f(k+1) = 3(k+1).

Из условия f(f(k)) = 3k следует, что f(3k) = 3k. Так как f(n+1) > f(n), то f(k+1) > f(k), следовательно, f(k+1) = 3(k+1).

Таким образом, мы доказали, что f(n) = 3n для всех натуральных чисел n.