Функция f(x)N→N удовлетворяет следующим двум условиям для всех натуральных чисел n: f(3n+1)=3f(n)+7 и f(2n)=2f(n)+2. Вычислите f(100).

Для нахождения f(100) воспользуемся данными условиями.

1. Подставим n=33 в первое условие: f(333+1) = 3f(33) + 7 f(100) = 3*f(33) + 7

2. Подставим n=50 во второе условие: f(250) = 2f(50) + 2 f(100) = 2*f(50) + 2

Теперь у нас есть два уравнения с f(100), которые можно приравнять друг к другу:

3f(33) + 7 = 2f(50) + 2

Теперь нам нужно найти f(33) и f(50), чтобы решить это уравнение.

Подставим n=11 в первое условие: f(311+1) = 3f(11) + 7 f(34) = 3*f(11) + 7

Подставим n=17 во второе условие: f(217) = 2f(17) + 2 f(34) = 2*f(17) + 2

Теперь у нас есть два уравнения с f(34), которые можно приравнять друг к другу:

3f(11) + 7 = 2f(17) + 2

Теперь найдем f(11) и f(17).

Подставим n=4 в первое условие: f(34+1) = 3f(4) + 7 f(13) = 3*f(4) + 7

Подставим n=6 во второе условие: f(26) = 2f(6) + 2 f(12) = 2*f(6) + 2

Теперь у нас есть два уравнения с f(12), которые можно приравнять друг к другу:

3f(4) + 7 = 2f(6) + 2

Теперь найдем f(4) и f(6).

Подставим n=1 в первое условие: f(31+1) = 3f(1) + 7 f(4) = 3*f(1) + 7

Подставим n=2 во второе условие: f(22) = 2f(2) + 2 f(4) = 2*f(2) + 2

Теперь у нас есть два уравнения с f(4), которые можно приравнять друг к другу:

3f(1) + 7 = 2f(2) + 2

Теперь найдем f(1) и f(2).

Подставим n=1 в первое условие: f(31+1) = 3f(1) + 7 f(4) = 3*f(1) + 7

Подставим n=1 во второе условие: f(21) = 2f(1) + 2 f(2) = 2*f(1) + 2

Теперь у нас есть два уравнения с f(2), которые можно приравнять друг к другу:

3f(1) + 7 = 2f(1) + 2

Решив это уравнение, найдем f(1) = 5.

Теперь, используя найденные значения f(1), f(2), f(4), f(6), f(11), f(12), f(13), f(17), f(33), и f(50), мы можем найти f(100):

f(100) = 3f(33) + 7 = 3(2f(17) + 2) + 7 = 6f(17) + 13 = 6*(2f(12) + 2) + 13 = 12f(12) + 25 = 12*(3f(4) + 7) + 25 = 36f(4) + 97 = 36*(2f(2) + 2) + 97 = 72f(2) + 131 = 72*(2f(1) + 2) + 131 = 144f(1) + 275 = 144*5 + 275 = 720 + 275 = 995.

Итак, f(100) = 995.