Докажите, что сумма трёх дробей (a, b и c- действительные числа) равна 1, то тогда из этих дробей равна - 1, а две другие равны 1 a2+b2-c2/2ab; b2+c2-a2/2bc; c2+a2-b2/2ca

Для начала докажем, что если сумма трех дробей равна 1, то хотя бы одна из них равна -1.

Пусть a2 + b2 - c2 / 2ab + b2 + c2 - a2 / 2bc + c2 + a2 - b2 / 2ca = 1

Тогда a2 + b2 - c2 + b2 + c2 - a2 + c2 + a2 - b2 = 2ab + 2bc + 2ca

2a2 + 2b2 + 2c2 = 2(ab + bc + ca)

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то (a - b)2 = (b - c)2 = (c - a)2 = 0

Отсюда следует, что a = b = c, и тогда a2 + b2 - c2 / 2ab = b2 + c2 - a2 / 2bc = c2 + a2 - b2 / 2ca = 1

Таким образом, из трех дробей одна равна 1, а две другие равны -1.