доказательство теоремы штольца

Для доказательства теоремы Штольца, допустим, что у нас есть две последовательности {a_n} и {b_n}, которые удовлетворяют условиям теоремы:

1. a_n и b_n стремятся к бесконечности (a_n, b_n -> ∞) при n -> ∞
2. lim(a_n - b_n) = 0 при n -> ∞

Теперь рассмотрим последовательность {c_n}, где c_n = a_n - a_{n-1} для всех n >= 2. Также введем последовательность {d_n}, где d_n = b_n - b_{n-1} для всех n >= 2.

По условию теоремы, lim(a_n - b_n) = 0, что означает, что последовательности {a_n} и {b_n} имеют одинаковую скорость роста. Таким образом, последовательности {c_n} и {d_n} также имеют одинаковую скорость роста.

Теперь рассмотрим последовательность {e_n}, где e_n = c_n - d_n для всех n >= 2. Так как последовательности {c_n} и {d_n} имеют одинаковую скорость роста, то последовательность {e_n} стремится к 0 при n -> ∞.

Теперь применим теорему Штольца к последовательности {c_n} и {d_n}:

lim(c_n / d_n) = lim((a_n - a_{n-1}) / (b_n - b_{n-1})) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim(a_n / b_n) = lim