Дмитрий написал на листе несколько простых чисел (числа могут повторяться). Оказалось, что сумма любых трех чисел, записанных на листе тоже простое число. При каком наибольшем количестве записанных простых чисел это возможно?

Это возможно при наибольшем количестве восьми простых чисел.

Для того чтобы сумма трех чисел была простым числом, можно взять следующие числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. При этом сумма любых трех из них будет простым числом, так как все возможные комбинации дают простые числа (например, 2+3+5=10, 2+3+7=12, 2+3+11=16 и т.д.).

Если добавить еще одно простое число, например, 23, то сумма 2+3+23=28 уже не является простым числом. Поэтому наибольшее количество простых чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно восьми.