Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30о. Боковое ребро равно 9. Найдите диагональ призмы. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в пять раз? 3. Площадь поверхности куба равна 200. Найдите его диагональ.

1. Пусть диагональ призмы равна d. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, диагональю и половиной основания, имеем: $d^2 = 9^2 + (\frac{1}{2}d)^2$ $d^2 = 81 + \frac{1}{4}d^2$ $\frac{3}{4}d^2 = 81$ $d^2 = \frac{81}{\frac{3}{4}}$ $d^2 = 108$ $d = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

Ответ: диагональ призмы равна $6\sqrt{3}$.

2. Объем куба пропорционален кубу его ребра. Если все ребра увеличить в 5 раз, то объем увеличится в $5^3 = 125$ раз.

Ответ: объем куба увеличится в 125 раз.

3. Пусть диагональ куба равна d. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, ребром и половиной ребра, имеем: $d^2 = a^2 + a^2$ $d^2 = 2a^2$ $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Так как площадь поверхности куба равна 200, то $6a^2 = 200$ $a^2 = \frac{200}{6} = \frac{100}{3}$

Таким образом, $d = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\frac{100}{3}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{100}{3 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

Ответ: диагональ куба равна $\frac{5\sqrt{6}}{3}$.