Действительные числа x и y таковы, что x^2 + y^2 + x^2y^2 = 49. Какое максимальное значение может принимать x+y+xy?

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

(x^2 + y^2) / 2 >= sqrt(x^2 * y^2)

(x^2 + y^2) / 2 >= xy

x^2 + y^2 >= 2xy

Таким образом, x^2 + y^2 + x^2y^2 >= 2xy + x^2y^2 = 49

Теперь заметим, что (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

Таким образом, (x + y)^2 <= 49 + 2xy

(x + y)^2 <= 49 + 2xy

x + y <= sqrt(49 + 2xy)

Так как x и y - действительные числа, то sqrt(49 + 2xy) принимает максимальное значение при 2xy = 49, т.е. xy = 24.5

Таким образом, максимальное значение x + y + xy = sqrt(49 + 2*24.5) = sqrt(98) = 7sqrt(2)

Ответ: 7sqrt(2)