Дано натуральное число п. п-операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на п. При каких натуральных п, больших 1, из каждого натурального числа за несколько п-операций получается число, кратное п?

Пусть дано натуральное число n. После первой п-операции мы получим число n + (n mod p). После второй п-операции получим число n + 2(n mod p), и так далее.

Чтобы получить число, кратное p, необходимо, чтобы каждое следующее число было нацело делимо на p. То есть, чтобы выполнялось условие: n + k(n mod p) ≡ 0 (mod p), где k - количество п-операций.

Рассмотрим случай, когда n mod p = 0. В этом случае любое натуральное число n будет кратно p после одной п-операции.

Рассмотрим случай, когда n mod p ≠ 0. Тогда условие n + k(n mod p) ≡ 0 (mod p) можно переписать как k ≡ -n/n mod p (mod p). Это условие выполнится для любого k, если -n/n mod p делится на p. Это возможно только в случае, когда p делит n.

Таким образом, из каждого натурального числа за несколько п-операций получится число, кратное p, только если p делит это число.

Итак, ответ: для любого натурального p, большего 1, из каждого натурального числа за несколько п-операций получается число, кратное p, только если p делит это число.