Дано натуральное число n. n-операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на n. При каких натуральных n, больших 1, из каждого натурального числа за несколько n-операций получается число, кратное n?

Пусть дано натуральное число k. После первой n-операции число станет равным k + (k mod n). После второй n-операции число станет равным k + 2*(k mod n). И так далее.

Чтобы получить число, кратное n, необходимо, чтобы после некоторого количества n-операций число стало равным kn. То есть нужно, чтобы существовало такое число m, что k + m*(k mod n) = kn.

Разложим это уравнение на k mod n: k mod n + m*(k mod n) = k*(n-1)

Вынесем k mod n за скобки: (k mod n)(1 + m) = k(n-1)

Так как k mod n < n, то (k mod n)(1 + m) < n(1 + m), и, следовательно, k*(n-1) < n*(1 + m). Получаем, что k < 1 + m.

Таким образом, для любого натурального n, большего 1, из каждого натурального числа за несколько n-операций можно получить число, кратное n.