Даны три вектора e1= (1,0,0), e2= (0,1,5), e3= (0,-4,1) . доказать, что они образуют базис в пространстве и найти новые координаты вектора e4= (0, 4,1)

Для доказательства того, что векторы e1, e2, e3 образуют базис в пространстве, нужно проверить их линейную независимость и то, что они охватывают все пространство.

1. Линейная независимость: Для этого составим линейную комбинацию векторов e1, e2, e3, равную нулевому вектору: αe1 + βe2 + γe3 = 0, где α, β, γ - коэффициенты.

Подставим значения векторов: α(1,0,0) + β(0,1,5) + γ(0,-4,1) = (0,0,0).

Отсюда получаем систему уравнений: α = 0, β = 0, 5β - 4γ = 0.

Из первых двух уравнений видно, что α = β = 0. Подставим это в третье уравнение: 5*0 - 4γ = 0, -4γ = 0, γ = 0.

Таким образом, коэффициенты α, β, γ равны нулю, что означает линейную независимость векторов e1, e2, e3.

2. Охватывание пространства: Так как векторы e1, e2, e3 линейно независимы, то они образуют базис в пространстве.

Найдем новые координаты вектора e4(0,4,1) в базисе e1, e2, e3. Для этого выразим вектор e4 через базисные векторы: e4 = αe1 + βe2 + γe3.

Подставим значения векторов и координат вектора e4: (0,4,1) = α(1,0,0) + β(0,1,5) + γ(0,-4,1), (0,4,1) = (α, 0, 0) + (0, β, 5β) + (0, -4γ, γ), (0,4,1) = (α, β - 4γ, 5β + γ).

Из этого равенства получаем систему уравнений: α = 0, β - 4γ = 4, 5β + γ = 1.

Из первого уравнения видно, что α = 0. Подставим это в оставшиеся уравнения: β - 4γ = 4, 5β + γ = 1.

Решив данную систему уравнений, найдем значения коэффициентов β и γ, которые будут являться новыми координатами вектора e4 в базисе e1, e2, e3.