Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Требуется найти: 1) координаты и модули векторов и ; 2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объём пирамиды; 5) уравнение плоскости А1А2А3; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнения высоты и её длину, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертёж. А1(3;0;2), А2(2;0;6), А3(1;1;2), А4(3;2;4)

1. Координаты векторов и : = А2 - А1 = (2-3; 0-0; 6-2) = (-1; 0; 4) = А4 - А1 = (3-3; 2-0; 4-2) = (0; 2; 2)

Модули векторов: || || = √((-1)^2 + 0^2 + 4^2) = √17 || || = √(0^2 + 2^2 + 2^2) = 2√2

2. Угол между рёбрами А1А2 и А1А4: cos(θ) = (, ) / (|| || * || ||) cos(θ) = (0*(-1) + 20 + 24) / (17*2√2) cos(θ) = 8 / (34√2) θ ≈ arccos(8 / (34√2)) ≈ 74.49°

3. Площадь грани А1А2А3: Площадь = 1/2 * || x || = 1/2 * ||(1, 4, 0)|| = 1/2 * √(1^2 + 4^2) = 1/2 * √17

4. Объём пирамиды: Объём = 1/3 * S * h, где S - площадь грани, h - высота пирамиды h = ||(А4 - А1) * || / || || h = ||(0, 2, 2)|| / 2√2 = 2 / 2√2 = 1/√2 Объём = 1/3 * 1/2 * √17 * 1/√2 = √17 / 6

5. Уравнение плоскости А1А2А3: Для этого найдем векторное произведение векторов и : n = x = (02 - 40; 41 - (-1)2; -10 - 02) = (0; 6; 0) Уравнение плоскости: 0x + 6y + 0*z = 6y = 6

6. Уравнение прямой А1А2: Уравнение прямой проходит через точки А1 и А2: x = 3 + t*(-1-3) y = 0 z = 2 + t*(4-2)

7. Уравнение высоты и её длина, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3: Уравнение прямой, проходящей через А4 и перпендикулярной плоскости А1А2А3: x = 3 + t0 y = 2 + t6 z = 4 + t*0

Длина высоты: h = ||(А4 - А1) * || / || || h = ||(0, 2, 2)|| / 2√2 = 2 / 2√2 = 1/√2 ≈ 0.71

Чертёж не предоставлен.