Даны a 𝑎 , b>0 𝑏 > 0 . Точки пересечения прямых y=ax+a 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑎 , y=ax+b 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 , y=bx+a 𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑎 и y=bx+b 𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑏 образуют четырёхугольник. Точка пересечения диагоналей этого четырёхугольника имеет ординату, равную 30 30 . Найдите максимальную из ординат вершин этого четырёхугольника.

Из условия задачи имеем, что точка пересечения диагоналей имеет ординату 30, то есть y = 30. Подставим это значение в уравнения прямых и найдем точку пересечения диагоналей:

1. y = ax + a 30 = ax + a a = 30 / (1 + x)

2. y = ax + b 30 = ax + b x = (30 - b) / a

3. y = bx + a 30 = bx + a b = (30 - a) / x

4. y = bx + b 30 = bx + b b = 30 / (1 + x)

Теперь найдем точку пересечения диагоналей, подставив значения x и y в уравнения прямых:

x = (30 - b) / a y = 30

x = (30 - 30 / (1 + x)) / (30 / (1 + x)) x = (30(1 + x) - 30) / 30 x = 30x / 30 x = 1

Подставляем x = 1 в уравнения прямых:

a = 30 / (1 + 1) = 15 b = 30 / (1 + 1) = 15

Теперь найдем вершины четырехугольника, подставив a = 15 и b = 15 в уравнения прямых:

1. y = 15x + 15
2. y = 15x + 15
3. y = 15x + 15
4. y = 15x + 15

Таким образом, все вершины четырехугольника имеют ординату 30. Максимальная из них равна 30.