даны a,b > 0. Точки пересечения прямых y = ax + a, y = ax + b, y = bx + a, y = bx + b образуют четырехугольник. Максимальная из ординат вершин этого четырехугольника равна 20. Найдите ординату точки пересечения диагоналей этого четырехугольника

Для начала найдем точки пересечения прямых y = ax + a и y = bx + b:

ax + a = bx + b (a - b)x = b - a x = (b - a) / (a - b)

Подставляем x обратно в уравнение y = ax + a:

y = a((b - a) / (a - b)) + a y = (ab - a^2) / (a - b) + a y = (ab - a^2 + a(a - b)) / (a - b) y = (ab - a^2 + a^2 - ab) / (a - b) y = a

Таким образом, точка пересечения прямых y = ax + a и y = bx + b имеет координаты (x, y) = ((b - a) / (a - b), a).

Аналогично найдем точку пересечения прямых y = ax + b и y = bx + a:

ax + b = bx + a (a - b)x = a - b x = (a - b) / (a - b) x = 1

Подставляем x обратно в уравнение y = ax + b:

y = a + b y = a + b

Таким образом, точка пересечения прямых y = ax + b и y = bx + a имеет координаты (x, y) = (1, a + b).

Диагонали четырехугольника соединяют точки (0, a) и (1, a + b), а также точки ((b - a) / (a - b), a) и (1, a + b).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки (0, a) и (1, a + b):

y = ((a + b) - a)x + a y = bx + a

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки ((b - a) / (a - b), a) и (1, a + b):

y = ((a + b) - a)(x - (b - a) / (a - b)) + a y = (bx - a + b) / (a - b) + a y = (b(x - 1) + a) / (a - b)

Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых:

(b(x - 1) + a) / (a - b) = bx + a b(x - 1) + a = (a - b)(bx + a) bx - b + a = abx + a^2 - bbx - ba bx - bbx - abx = a^2 - a + b x(b - ab - a) = a^2 - a + b x = (a^2 - a + b) / (b - ab - a)

Подставляем x обратно в уравнение прямой, проходящей через точки (0, a) и (1, a + b):

y = b((a^2 - a + b) / (b - ab - a)) + a y = (ba^2 - ba + b^2) / (b - ab - a) + a

Теперь найдем максимальное значение ординаты вершин четырехугольника:

20 = max(a, a + b, a, (ba^2 - ba + b^2) / (b - ab - a) + a)

Таким образом, максимальная ордината точки пересечения диагоналей четырехугольника равна 20.