Даны а, b > 0. Точки пересечения прямых y = ax + a, y = ax + b, y = bx + a и у = bx + b образуют четырёхугольник. Точка пересечения диагоналей этого четырёхугольника имеет ординату, равную 20. Найдите максимальную из ординат вершин этого четырёхугольника.

Из условия задачи имеем, что точки пересечения прямых y = ax + a и y = ax + b дают нам вершины четырёхугольника с ординатами a и b соответственно. Точки пересечения прямых y = bx + a и y = bx + b дают нам вершины четырёхугольника с ординатами a и b соответственно.

Пусть точка пересечения диагоналей четырёхугольника имеет абсциссу x. Тогда учитывая, что ордината этой точки равна 20, получаем:

(ax + a + bx + b)/2 = 20 (a + b)(x) = 40 x = 40/(a + b)

Теперь найдем ординаты вершин четырёхугольника:

1. Для прямой y = ax + a: x = 40/(a + b) y = a*(40/(a + b)) + a = 40a/(a + b) + a

2. Для прямой y = ax + b: x = 40/(a + b) y = a*(40/(a + b)) + b = 40a/(a + b) + b

3. Для прямой y = bx + a: x = 40/(a + b) y = b*(40/(a + b)) + a = 40b/(a + b) + a

4. Для прямой y = bx + b: x = 40/(a + b) y = b*(40/(a + b)) + b = 40b/(a + b) + b

Таким образом, максимальная из ординат вершин четырёхугольника равна max{40a/(a + b) + a, 40a/(a + b) + b, 40b/(a + b) + a, 40b/(a + b) + b}.